Legendre Symbol

1. intro

2. code 및 분석

2.1.  code

N/A

 

2.2. 분석

앞선 케이스에서 p가 29라면 쉽게 계산할 수 있었지만, p가 매우 크다면 터무니 없는 방법이 된다.

하지만 쉽게 제곱 잉여인지 아닌지 계산할 수 있는 방법이 르장드르 기호를 이용하는 방법이다.

 

르장드르 기호는 앞선 포스팅과 같이 1 or -1인지만 확인하면 된다.

2023.02.09 - [Tips & theory] - Legendre Symbol - 르장드르 기호

Legendre Symbol - 르장드르 기호

 

이는 파이썬 pow 함수로 쉽게 계산할 수 있다.

pow 함수는 아래와 같이 작동한다

 

pow(a,b,c) = a^b mod c

 

문제에서 주어진 파일 내에 1024 bit의 소수와 10개의 정수로 이루어져 있는데, 제곱 잉여를 찾고 제곱근을 찾으면 된다.

 

다만 제곱근을 어떻게 찾느냐가 문제인데,

다시 르장드르 기호를 생각해보자.

(a/p) = 1

a^ ((p - 1) / 2) mod p = 1

가 된다.

 

여기서 p는 소수 이기에 p > a 라면

a ^ ((p - 1) / 2)를 p로 나누면 a ^ ((p - 1) / 2)가 나머지가 될 것이다.

 

그러므로

a^ ((p - 1) / 2) = 1

라고 할 수 있고,

a ^ ((p - 1) / 2) * a = a

a ^ ((p + 1) / 2) = a

라 할 수 있다.

 

여기서 제곱근은 a ^ (1 / 2) 이므로

a ^ ((p + 1) / 4) = a ^ (1 / 2)

가 된다.

 

3. exploit

p = 101524035174539890485408575671085261788758965189060164484385690801466167356667036677932998889725476582421738788500738738503134356158197247473850273565349249573867251280253564698939768700489401960767007716413932851838937641880157263936985954881657889497583485535527613578457628399173971810541670838543309159139

ints = [25081841204695904475894082974192007718642931811040324543182130088804239047149283334700530600468528298920930150221871666297194395061462592781551275161695411167049544771049769000895119729307495913024360169904315078028798025169985966732789207320203861858234048872508633514498384390497048416012928086480326832803, 45471765180330439060504647480621449634904192839383897212809808339619841633826534856109999027962620381874878086991125854247108359699799913776917227058286090426484548349388138935504299609200377899052716663351188664096302672712078508601311725863678223874157861163196340391008634419348573975841578359355931590555, 17364140182001694956465593533200623738590196990236340894554145562517924989208719245429557645254953527658049246737589538280332010533027062477684237933221198639948938784244510469138826808187365678322547992099715229218615475923754896960363138890331502811292427146595752813297603265829581292183917027983351121325, 14388109104985808487337749876058284426747816961971581447380608277949200244660381570568531129775053684256071819837294436069133592772543582735985855506250660938574234958754211349215293281645205354069970790155237033436065434572020652955666855773232074749487007626050323967496732359278657193580493324467258802863, 4379499308310772821004090447650785095356643590411706358119239166662089428685562719233435615196994728767593223519226235062647670077854687031681041462632566890129595506430188602238753450337691441293042716909901692570971955078924699306873191983953501093343423248482960643055943413031768521782634679536276233318, 85256449776780591202928235662805033201684571648990042997557084658000067050672130152734911919581661523957075992761662315262685030115255938352540032297113615687815976039390537716707854569980516690246592112936796917504034711418465442893323439490171095447109457355598873230115172636184525449905022174536414781771, 50576597458517451578431293746926099486388286246142012476814190030935689430726042810458344828563913001012415702876199708216875020997112089693759638454900092580746638631062117961876611545851157613835724635005253792316142379239047654392970415343694657580353333217547079551304961116837545648785312490665576832987, 96868738830341112368094632337476840272563704408573054404213766500407517251810212494515862176356916912627172280446141202661640191237336568731069327906100896178776245311689857997012187599140875912026589672629935267844696976980890380730867520071059572350667913710344648377601017758188404474812654737363275994871, 4881261656846638800623549662943393234361061827128610120046315649707078244180313661063004390750821317096754282796876479695558644108492317407662131441224257537276274962372021273583478509416358764706098471849536036184924640593888902859441388472856822541452041181244337124767666161645827145408781917658423571721, 18237936726367556664171427575475596460727369368246286138804284742124256700367133250078608537129877968287885457417957868580553371999414227484737603688992620953200143688061024092623556471053006464123205133894607923801371986027458274343737860395496260538663183193877539815179246700525865152165600985105257601565]

for i in range(len(ints)):
    if (pow(ints[i],(p-1)//2,p)) == 1:
        print(pow(ints[i],(p-1)//2,p))
        print(pow(ints[i],(p+1)//4,p))

 

┌[wyv3rn🐲]-(/mnt/c/Users/lmaxl/Downloads)
└> ./solve.py 
1
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